Question

【題目】已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6，點D是射線OM上的動點，當點D不與點A重合時，將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE，連接DE．

（1）如圖1，猜想：△CDE的形狀是　 　三角形．

（2）請證明（1）中的猜想

（3）設OD=m，

①當6＜m＜10時，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE周長的最小值；若不存在，請說明理由．

②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）等邊；（2）詳見解析；（3）①2+4；②當m=2或14時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形．

【解析】

（1）由旋轉的性質猜想結論；

（2）由旋轉的性質得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到結論；

（3）①當6＜m＜10時，由旋轉的性質得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根據等邊三角形的性質得到DE=CD，由垂線段最短得到當CD⊥AB時，△BDE的周長最小，于是得到結論；

②存在，分四種情況討論：a）當點D與點B重合時，D，B，E不能構成三角形；

b）當0≤m＜6時，由旋轉的性質得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根據等邊三角形的性質得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；

c）當6＜m＜10時，此時不存在；

d）當m＞10時，由旋轉的性質得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．

（1）等邊；

（2）∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等邊三角形．

（3）①存在，當6＜t＜10時，由旋轉的性質得：BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等邊三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂線段最短可知，當CD⊥AB時，△BDE的周長最小，此時，CD=2，∴△BDE的最小周長=CD+4=2+4；

②存在，分四種情況討論：

a）∵當點D與點B重合時，D，B，E不能構成三角形，∴當點D與點B重合時，不符合題意；

b）當0≤m＜6時，由旋轉可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等邊三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°．

∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°．

∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴m=2；

c）當6＜m＜10時，由∠DBE=120°＞90°，∴此時不存在；

d）當m＞10時，由旋轉的性質可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，從而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴m=14．

綜上所述：當m=2或14時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形．