Question

如圖，O是銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P是△ABC內(nèi)不同于O的另一點(diǎn)；△A′BO′，△A′BP′分別由△AOB，△APB旋轉(zhuǎn)而得，旋轉(zhuǎn)角都為60°，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
①△O′BO為等邊三角形，且A′，O′，O，C在一條直線上．
②A′O′+O′O=AO+BO．
③A′P′+P′P=PA+PB．
④PA+PB+PC＞AO+BO+CO．

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：由于△A′BO′，△A′BP′分別由△AOB，△APB旋轉(zhuǎn)而得，旋轉(zhuǎn)角都為60°，得到BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，則△BOO′和△BPP′都是等邊三角形，得到∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，即可得到四個(gè)結(jié)論都正確．
解答：解：連PP′，如圖，
∵△A′BO′，△A′BP′分別由△AOB，△APB旋轉(zhuǎn)而得，旋轉(zhuǎn)角都為60°，
∴BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，
∴△BOO′和△BPP′都是等邊三角形，
∴∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，
而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
∴∠A′O′O=∠O′OC=180°，
即△O′BO為等邊三角形，且A′，O′，O，C在一條直線上，所以①正確；
∴A′O′+O′O=AO+BO，所以②正確；
A′P′+P′P=PA+PB，所以③正確；
又∵CP+PP′+P′A′＞CA′=CO+OO′+O′A′，
∴PA+PB+PC＞AO+BO+CO，所以④正確．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短．