Question

如圖，△ABC是銳角三角形，正方形DEFG的一邊在BC上，其余兩個定點在AB，AC上，記△ABC的面積為S₁，正方形的面積為S₂，則（　　）

• A、S₁≥2S₂
• B、S₁≤2S₂
• C、S₁＞2S₂
• D、S₁＜2S₂

Answer 1

分析：根據題意，易得△AGF∽△ABC，△BDG∽△BMA，再將△ABC的面積S₁表示出來，再將正方形DEFG的面積表示出來，利用S₁-2S₂進行比較．

解答：解：過點A作BC上的高AM交BC于點M，交GF于點N，
S₁=

1

2

BC×AM，S₂=GF×GD=GF²
∵GF∥BC，DG∥AM
∴△AGF∽△ABC，△BDG∽△BMA，
∴

BD

BM

=

DG

AM

，

GF

BC

=

AN

AM

=

GN

BM

，GN=DM，BD+DM=BM
∴

DG

AM

+

GF

BC

=

BD

BM

+

DM

BM

=

BD+DM

BM

=1
∴GF×（AM+BC）=AM×BC，
∴GF=

AM×BC

AM+BC

∴2×S₂=2×（

AM×BC

AM+BC

）²
∴S₁-2S₂=

BC×AM

2

-2（

AM×BC

AM+BC

）²=

BC×AM

2

（1-

4AM×BC

(AM+BC)2

）
=

AM×BC

2

×

(AM-BC)2

(AM+BC)2

≥0
∴S₁≥2S₂．故選A．

點評：本題綜合考查相似三角形和正方形的性質．