Question

如圖，菱形ABCD中，AB=AC，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE=BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AG于點O．則下列結論①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD²=OD•DH中，正確的是

①②③④

．

Answer 1

分析：由菱形ABCD中，AB=AC，易證得△ABC是等邊三角形，則可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可證得△ABF≌△CAE；則可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性質，即可求得∠AHC=120°；在HD上截取HK=AH，連接AK，易得點A，H，C，D四點共圓，則可證得△AHK是等邊三角形，然后由AAS即可證得△AKD≌△AHC，則可證得AH+CH=DH；易證得△OAD∽△AHD，由相似三角形的對應邊成比例，即可得AD²=OD•DH．

解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等邊三角形，
同理：△ADC是等邊三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，

BF=AE ∠B=∠EAC BC=AC

，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正確；
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠AEH=∠B+∠BCE，
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；
故②正確；
在HD上截取HK=AH，連接AK，
∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，
∴點A，H，C，D四點共圓，
∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，
∴△AHK是等邊三角形，
∴AK=AH，∠AKH=60°，
∴∠AKD=∠AHC=120°，
在△AKD和△AHC中，

∠AKD=∠AHC  ∠ADH=∠ACH  AD=AC

，
∴△AKD≌△AHC（AAS），
∴CH=DK，
∴DH=HK+DK=AH+CH；
故③正確；
∵∠OAD=∠AHD=60°，∠ODA=∠ADH，
∴△OAD∽△AHD，
∴AD：DH=OD：AD，
∴AD²=OD•DH．
故④正確．
故答案為：①②③④．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．