Question

已知關于x的方程x²+（2k+1）x+k²-2=0有兩個不相等的實數根，
（1）試求k的取值范圍；
（2）是否存在實數k，使得此方程兩根的平方和等于11？若存在，求出相應的k值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）一元二次方程有兩不等根，則根的判別式△=b²-4ac＞0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍；
（2）設兩根為a、b，根據根與系數的關系可得a+b=-（2k+1），ab=k²-2，則a²+b²=（a+b）²-2ab=[-（2k+1）]²-2（k²-2）=2k²+4k+5，由題意得2k²+4k+5=11，求解即可．
解答：解：（1）∵方程有兩個不相等的實數根，
∴△=b²-4ac=（2k+1）²-4（k²-2）=4k+9＞0，
解得：k＞-；

（2）存在．設兩根為a、b，根據根與系數的關系可得a+b=-（2k+1），ab=k²-2，
則a²+b²=（a+b）²-2ab=[-（2k+1）]²-2（k²-2）=2k²+4k+5，
由題意得2k²+4k+5=11，
解得k=-3或1，
∵k＞-
∴當k=1，此方程兩根的平方和等于11．
點評：此題主要考查一元二次方程根的情況與判別式△的關系以及根與系數的關系．