Question

（2006•梧州）在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）在x軸上方平行于x軸的一條直線交拋物線于M，N兩點，以MN為直徑作圓與x軸相切，求此圓的直徑；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使點P到B，C兩點間的距離之差最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的對稱軸，可用頂點式二次函數通式來設拋物線的解析式，然后將B、C兩點的坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．
（2）根據圓和拋物線的對稱性可知，以MN為直徑的圓的圓心必在拋物線的對稱軸上，因此可用圓的半徑r表示出M，N點的坐標，然后將M或N點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出半徑的長，也就能求出圓的直徑了．
（3）本題的關鍵是判斷P點的位置，由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，那么連接BC，BC與拋物線對稱軸的交點就是P點，可先求出直線AC的解析式，然后聯立拋物線的對稱軸解析式即可求出P點的坐標．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為：
y=a（x-1）²+c，
把B（3，0），C（0，-3）代入得：．
解得a=1，c=-4
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3．

（2）設圓的半徑為r，依題意有M（1-r，r），N（1+r，r）
把M的坐標代入y=x²-2x-3
整理，得r²-r-4=0，
解得r1=，（舍去）
∴所求圓的直徑為1+．

（3）存在．
∵由對稱性可知，A點的坐標為（-1，0）
∵C點坐標為（0，-3），
∴直線AC的解析式為y=-3x-3（11分）
∵P點在對稱軸上，
設P點坐標為（1，y）
代入y=-3x-3，
求得P點坐標為（1，-6）．
點評：本題主要考查了用待定系數法求二次函數解析式、二次函數及圓的對稱性等知識點，主要考查學生數形結合的數學思想方法．