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在Rt△ABC中,AB=BC=4,∠B=90°,將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)P處,將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別與邊AB、BC或其延長(zhǎng)線上交于D、E兩點(diǎn)(假設(shè)三角板的兩直角邊足夠長(zhǎng)),如圖(1)、圖(2)表示三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的兩種情形.
(1)直角三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)BE=______
【答案】分析:(1)根據(jù)△PEC是等腰三角形,分類進(jìn)行討論即可;
(2)連接BP,首先根據(jù)題干條件證明出∠BPD=∠CPE,然后證明△DPB≌△EPC,于是證明出PD=PE;
(3)過(guò)M分別作AB、BC的垂線,垂足分別為G、H,首先根據(jù)角之間的關(guān)系求出∠GMD=∠HME,進(jìn)而證明出△MGD∽△MHE,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例,得到,再求出GM、HM關(guān)于m、n的表達(dá)式,三式結(jié)合求出MD、ME之間的比例關(guān)系.
解答:(1)解:當(dāng)BE=0時(shí),即點(diǎn)B和點(diǎn)E重合,故可知△PEC是等腰三角形,
當(dāng)BE=2時(shí),即E是BC的中點(diǎn),可得△PEC是等腰三角形
由題干條件知PC=2,當(dāng)CP=CE時(shí)△PEC是等腰三角形,BE=4-2; 
當(dāng)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),CE=CP,△PEC是等腰三角形,BE=4+2
故答案為0、2或4±2.   

(2)證明:連接BP.
∵AB=BC 且∠ABC=90°,
∴∠C=45°,
又∵P是AC中點(diǎn),
∴BP⊥AC,BP=PC 且∠ABP=∠CBP=45°,
∴∠CPE+∠EPB=90°,
∵DP⊥PE,
∴∠BPD+∠EPB=90°,
∴∠BPD=∠CPE,
在△DPB和△EPC中

∴△DPB≌△EPC,
∴PD=PE,

(3)解:MD、ME的數(shù)量關(guān)系是:
理由如下:
過(guò)M分別作AB、BC的垂線,垂足分別為G、H.
由作圖知,∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE=90°
又∵∠B=90°,
∴∠GMH=90°,
∴∠GMD+∠DMH=90°,
∵∠DMH+∠HME=90°,
∴∠GMD=∠HME
∴△MGD∽△MHE,
①,


∵∠MGA=∠B=90°,
∴GM∥BC,

同理 
∵AB=BC,

②③代入①得
點(diǎn)評(píng):本題主要考查相似綜合題得知識(shí)點(diǎn),解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)定理,此題難度較大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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A、12B、6C、2D、3

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在Rt△ABC中,已知a及∠A,則斜邊應(yīng)為(  )
A、asinA
B、
a
sinA
C、acosA
D、
a
cosA

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A、9:4B、9:2C、3:4D、3:2

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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