Question

在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別與邊AB、BC或其延長(zhǎng)線上交于D、E兩點(diǎn)（假設(shè)三角板的兩直角邊足夠長(zhǎng)），如圖（1）、圖（2）表示三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的兩種情形．
（1）直角三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)BE=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)△PEC是等腰三角形，分類進(jìn)行討論即可；
（2）連接BP，首先根據(jù)題干條件證明出∠BPD=∠CPE，然后證明△DPB≌△EPC，于是證明出PD=PE；
（3）過(guò)M分別作AB、BC的垂線，垂足分別為G、H，首先根據(jù)角之間的關(guān)系求出∠GMD=∠HME，進(jìn)而證明出△MGD∽△MHE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得到，再求出GM、HM關(guān)于m、n的表達(dá)式，三式結(jié)合求出MD、ME之間的比例關(guān)系．
解答：（1）解：當(dāng)BE=0時(shí)，即點(diǎn)B和點(diǎn)E重合，故可知△PEC是等腰三角形，
當(dāng)BE=2時(shí)，即E是BC的中點(diǎn)，可得△PEC是等腰三角形
由題干條件知PC=2，當(dāng)CP=CE時(shí)△PEC是等腰三角形，BE=4-2； 
當(dāng)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，CE=CP，△PEC是等腰三角形，BE=4+2；
故答案為0、2或4±2．   

（2）證明：連接BP．
∵AB=BC 且∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
又∵P是AC中點(diǎn)，
∴BP⊥AC，BP=PC 且∠ABP=∠CBP=45°，
∴∠CPE+∠EPB=90°，
∵DP⊥PE，
∴∠BPD+∠EPB=90°，
∴∠BPD=∠CPE，
在△DPB和△EPC中
∵，
∴△DPB≌△EPC，
∴PD=PE，

（3）解：MD、ME的數(shù)量關(guān)系是：，
理由如下：
過(guò)M分別作AB、BC的垂線，垂足分別為G、H．
由作圖知，∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE=90°
又∵∠B=90°，
∴∠GMH=90°，
∴∠GMD+∠DMH=90°，
∵∠DMH+∠HME=90°，
∴∠GMD=∠HME
∴△MGD∽△MHE，
∴①，
∵，
∴，
∵∠MGA=∠B=90°，
∴GM∥BC，
∴即②
同理 ，
∵AB=BC，
∴③
②③代入①得．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似綜合題得知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)定理，此題難度較大．