Question

【題目】如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB⊥直徑CD，垂足為E，∠ACD＝30°，點P為⊙O上一動點，CF⊥AP于點F．

①弦AB的長度為_____；

②點P在⊙O上運動的過程中，線段OF長度的最小值為_____．

Answer 1

【答案】2． -1

【解析】

①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解決問題．

②取AC的中點H，連接OH，OF，HF，求出OH，FH，根據OF≥FH-OH，即，由此即可解決問題．

解：①如圖，連接OA．

∵OA＝OC＝2，

∴∠OCA＝∠OAC＝30°，

∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，

∴AE＝OAsin60°＝，

∵OE⊥AB，

∴AE＝EB＝，

∴AB＝2AE＝2，

故答案為2．

②取AC的中點H，連接OH，OF，HF，

∵OA＝OC，AH＝HC，

∴OH⊥AC，

∴∠AHO＝90°，

∵∠COH＝30°，

∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，

∵CF⊥AP，

∴∠AFC＝90°，

∴HF＝AC＝，

∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，

∴OF的最小值為﹣1．

故答案為﹣1．