Question

【題目】如圖，點C，P均在⊙O上，且分布在直徑AB的兩側，BE⊥CP于點E．

（1）求證：△CAB∽△EPB；
（2）若AB=10，AC=6，BP=5，求CP的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，BE⊥CP，

∴∠ACB=∠BEP．

∵∠CAB=∠BPC，

∴△CAB∽△EPB

（2）解：∵AB=10，AC=6，

∴BC= =8．

∵△CAB∽△EPB，BP=5，

∴ = = ，即 = = ，

∴PE=3，BE=4，

∴CE= =4 ，

∴CP=4 +3

【解析】（1）根據兩角相等的三角形相似可得出結論；（2）先根據勾股定理求出BC的長，再由相似三角形的性質得出PE及BE的長，由勾股定理得出CE的長，進而可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓周角定理的相關知識，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．