Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為4，點O是△ABC的外心，∠FOG＝120°．繞點O旋轉∠FOG，分別交線段AB、BC于D、E兩點．連接DE給出下列四個結論：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四邊形ODBE＝；④△BDE周長的最小值為6．上述結論中正確的個數是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接OB，OC，易證△BOD≌△COE，因為OD=OE，將S四邊形ODBE轉化為S△BOC，故可得①③正確；利用特殊時刻：當D與B重合時，E與C重合，此時S△ODE＞0，而S△BDE=0，故②錯誤；因為△BOD≌△COE，所以BD=EC，所以當DE最小時，△BDE周長最小，利用勾股定理求出DE，找到DE的最小值即可解決問題．

如圖，連接OB，OC，過點D作DM⊥BC于M．

（1）∵等邊△ABC的邊長為4，點O是△ABC的外心，∠FOG=120°，

∴易證∠BOD=∠COE，OB=OC，∠DBO=∠ECO=30°，

∴△BOD≌△COE，

∴OD=OE，故①正確；

（2）當D與B重合時，E與C重合，

此時S△ODE＞0，

而S△BDE=0，故②錯誤；

（3）∵△BOD≌△COE，

∴S四邊形ODBE=S△ODB+S△BOE

=S△OCE+S△BOE

=S△BOC

=S△ABC

=，故③錯誤；

（4）∵△BOD≌△COE，

∴BD=EC，

∴△BDE周長=BD+BE+DE=BC+DE，

∵BC=4，

∴當DE最小時，△BDE周長最小．

設BD=x，則BM=x，DM=x，EC=BD=x，BE=4﹣x，

∴ME=BE﹣BM=4﹣x，

∴由勾股定理得：DE==，

∴DE的最小值為2，

∴△BDE周長的最小值為6，故④正確；

所以①④正確．

故選：B．