Question

如圖，已知△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于E，BC=6，∠B=30°，過點E作EG⊥AC于G，交BC的延長線于F．
（1）求證：FE是⊙O的切線．
（2）求AB的長．

Answer 1

分析：（1）連接OE，根據同位角相等，證明EO∥AC，又知EG⊥AC，故能得到EG⊥OE，
（2）過點O作OH⊥BE，在Rt△BOH中解得BH、BE，又知EO∥AC等條件，AB=2BE．

解答：（1）證明：連接OE．（1分）
∵OB=OE，
∴∠B=∠BEO．
∵BC=AC，
∴∠B=∠A，
∴∠BEO=∠A．
∴EO∥AC（4分）
∵EG⊥AC，
∴EG⊥OE．
又點E在⊙O上，
∴FE是⊙O的切線．（5分）

（2）解：過點O作OH⊥BE；（6分）
在Rt△BOH中，OB=3，∠B=30°，
∴cos30°=

BH

BO

．
∴BH=

3

2

3

．
∴BE=2BH=3

3

．（7分）
∵EO∥AC，OB=OC，
∴BE=AE．
∴AB=2BE=6

3

．（8分）

點評：本題考查了切線的判定等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．