Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線AB：交y軸于點，交x軸于點B．

（1）求直線AB的表達式和點B的坐標；

（2）直線l垂直平分OB交AB于點D，交x軸于點E，點P是直線l上一動點，且在點D的上方，設點P的縱坐標為n．

①當時，求點P的坐標；

②在①的條件下，以PB為斜邊在第一象限作等腰直角，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（4，0）；（2）①（2，6）；②（6，4）

【解析】

（1）把點A的坐標代入直線解析式可求得b=4，則直線的解析式為y=-x+4，令y=0可求得x=4，故此可求得點B的坐標；
（2）①由題l垂直平分OB可知OE=BE=2，將x=2代入直線AB的解析式可求得點D的坐標，設點P的坐標為（2，n），然后依據S△APB=S△APD+S△BPD可得到△APB的面積與n的函數關系式為S△APB=2n-4；由S△ABP=8得到關于n的方程可求得n的值，從而得到點P的坐標；
②如圖1所示，過點C作CM⊥l，垂足為M，再過點B作BN⊥CM于點N．設點C的坐標為（p，q），先證明△PCM≌△CBN，得到CM=BN，PM=CN，然后由CM=BN，PM=CN列出關于p、q的方程組可求得p、q的值；如圖2所示，同理可求得點C的坐標．

解：（1）∵把A（0，4）代入y=-x+b得b=4，

∴直線AB的函數表達式為：y=-x+4．

令y=0得：-x+4=0，解得：x=4，

∴點B的坐標為（4，0）；

（2）①∵l垂直平分OB，
∴OE=BE=2．
∵將x=2代入y=-x+4得：y=-2+4=2．
∴點D的坐標為（2，2）．
∵點P的坐標為（2，n），
∴PD=n-2．
∵S△APB=S△APD+S△BPD，
∴S△ABP=PDOE+PDBE=（n-2）×2+（n-2）×2=2n-4．

∵S△ABP=8，

∴2n-4=8，解得：n=6．∴點P的坐標為（2，6）．

②如圖1所示：過點C作CM⊥l，垂足為M，再過點B作BN⊥CM于點N．

設點C（p，q）．

∵△PBC為等腰直角三角形，PB為斜邊，

∴PC=PB，∠PCM+∠MCB=90°，

∵CM⊥l，BN⊥CM，

∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．

∴∠MPC=∠NCB．

∵PC=BC，

，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴ ，解得．
∴點C的坐標為（6，4）．
如圖2所示：過點C作CM⊥l，垂足為M，再過點B作BN⊥CM于點N．

設點C（p，q）．
∵△PBC為等腰直角三角形，PB為斜邊，
∴PC=CB，∠PCM+∠MCB=90°．
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．
∴∠MPC=∠NCB．
在△PCM和△CBN中，
，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴ ，解得 ．
∴點C的坐標為（0，2）舍去．
綜上所述點C的坐標為（6，4）．