Question

【題目】如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD外一點(diǎn)，連接AE、BE和DE，過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB＝3．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③點(diǎn)B到直線AE的距離為；④S正方形ABCD＝8+．則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①易知AE＝AP，AB＝AD，所以只需證明∠EAB＝∠PAD即可用SAS說(shuō)明△APD≌△AEB；

②易知∠AEB＝∠APD＝135°，則∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，所以EB⊥ED；

③在Rt△BEP中利用勾股定理求出BE值為，根據(jù)垂線段最短可知B到直線AE的距離小于；則③錯(cuò)誤；

④要求正方形的面積，則需知道正方形一條邊的平方值即可，所以在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE交BE延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，在Rt△AHB中利用勾股定理AB2＝BH2+AH2即可．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝90°．

∴∠DAP+∠BAP＝90°．

又∠EAP+∠BAP＝90°，

∴∠EAP＝∠DAP．

又AE＝AP，

∴△APD≌△AEB（SAS）．

所以①正確；

∵AE＝AP，∠EAP＝90°，

∴∠APE＝∠AEP＝45°，

∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．

∵△APD≌△AEB，

∴∠AEB＝∠APD＝135°，

∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，

即EB⊥ED，②正確；

在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝，

在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝．

∵B點(diǎn)到直線AE的距離小于BE，所以點(diǎn)B到直線AE的距離為是錯(cuò)誤的，

所以③錯(cuò)誤；

在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE交BE延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．

在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．

所以BH＝．

在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，

即AB2＝（）2+（）2＝8+，

所以S正方形ABCD＝8+．

所以④正確．

所以只有①和②、④的結(jié)論正確．

故選：C．