Question

如圖，⊙O中半徑OA=2，∠AOB=60°，P為

AB

上的點，PM⊥OA于M，

PN⊥OB于N．
（1）若P是

AB

的中點，求MN的長；
（2）若點P不是

AB

的中點，則MN的長度是否發生變化？請說明理由；
（3）若∠AOB=45°，求MN的長．（不用證明）

Answer 1

（1）連接OP，
∵P為

AB

中點
∴∠AOP=∠BOP=

1

2

∠AOB=30°
∵PM⊥OA于Mcos∠AOP=

OM

OP

=

3

2

，
∴OM=

3

同理ON=

3

∴OM=ON，
∵∠AOB=60°，
∴△OMN為等邊三角形
∴MN=

3

；

（2）長度不變．
設Pn為

AB

中點，垂足為Mn，Nn分別延長PM，PN，PnMn，PnNn交⊙O于E，F，
En，Fn由于∠EPF=∠EnPnFn=120°
∴EF=EnFn
又MN，MnNn分別為△PEF，△PnEnFn的中位線
∴MN=

1

2

EF，MnNn=

1

2

EnFn
∴MN=MnNn

（3）由（1），（2）可知P點取

AB

上任一點時MN長度不變，包括P點與A，B重合時，
故當∠AOB=45°時，
讓點P與點A重合，
PN=

2

2

?2=

2

當∠AOB=45°時，
MN=

2

．