Question

如圖，⊙O中半徑OA=2，∠AOB=60°，P為

AB

上的點，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．
（1）若P是

AB

的中點，求MN的長；
（2）若點P不是

AB

的中點，則MN的長度是否發生變化？請說明理由；
（3）若∠AOB=45°，求MN的長．（不用證明）

Answer 1

分析：（1）P是弧AB的中點，那么可連接OP，根據垂徑定理即可得出OP⊥MN，∠MOP=30°，根據OP⊥MN構建的直角三角形和∠MOP的度數，半徑的長已知，即可求出MN的值．
（2）如果P不是弧AB的中點，可作出（1）中的情況，然后找中間值進行比較，找出弧AB的中點Pn，過Pn作Pn⊥OA于Mn，Pn⊥OB于Nn．由于過P和Pn的線段都垂直于半徑，那么可聯系中位線的知識進行求解，可延長這些線段，通過構建三角形，通過證這兩個三角形的底邊相等來得出它們的中位線相等進而得出P是弧AB的中點是，MN的長度不變．
（3）由于P在任何位置MN的長度都不變，如果讓A點與P點重合，那么∠AOB=45°，此時可在直角三角形OPN中，根據∠AOB的度數和半徑的長來求出MN的值．

解答：解：（1）連接OP，
∵P為

AB

中點
∴∠AOP=∠BOP=

1

2

∠AOB=30°
∵PM⊥OA于Mcos∠AOP=

OM

OP

=

3

2

，
∴OM=

3

同理ON=

3

∴OM=ON，
∵∠AOB=60°，
∴△OMN為等邊三角形
∴MN=

3

；

（2）長度不變．
設Pn為

AB

中點，垂足為Mn，Nn分別延長PM，PN，PnMn，PnNn交⊙O于E，F，
En，Fn由于∠EPF=∠EnPnFn=120°
∴EF=EnFn
又MN，MnNn分別為△PEF，△PnEnFn的中位線
∴MN=

1

2

EF，MnNn=

1

2

EnFn
∴MN=MnNn

（3）由（1），（2）可知P點取

AB

上任一點時MN長度不變，包括P點與A，B重合時，
故當∠AOB=45°時，
讓點P與點A重合，
PN=

2

2

•2=

2

當∠AOB=45°時，
MN=

2

．

點評：本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理以及中位線的應用等知識點，要注意（2）中輔助線的作法，根據題中的條件構建出和所求的條件相關的三角形是解題的關鍵．