Question

有一個二次函數的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點．
甲：對稱軸是直線x=4；
乙：與x軸兩交點的橫坐標都是整數；
丙：與y軸交點的縱坐標也是整數，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3；
請寫出滿足上述全部特點的二次函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：由對稱軸是直線x=4，與x軸兩交點的橫坐標都是整數，可設與x軸兩交點坐標為（3，0），（5，0），又因為以函數與x軸，y軸交點為頂點的三角形面積為3，可得與y軸的交點的坐標為（0，3）．利用交點式y=a（x-x₁）（x-x₂），求出解析式．
解答：解：此題答案不唯一
設所求解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），（其中x₁＜x₂），則
其圖象與x軸兩交點分別是A（x₁，0），B（x₂，0），與y軸交點坐標是（0，ax₁x₂）．
因為交點式a（x-x₁）（x-x₂），
又因為與y軸交點的橫坐標為0，
所以a（0+x₁）（0+x₂），也就是ax₁x₂，
∵拋物線對稱軸是直線x=4，
∴x₂-4=4-x₁，即：x₁+x₂=8 ①
∵S△ABC=3，∴（x₂-x₁）•|ax₁x₂|=6，即：x₂-x₁=②
①②兩式相加減，可得：x2=4+，
x₁=4-，
∵x₁，x₂是整數，ax₁x₂也是整數，
∴ax₁x₂是3的約數，共可取值為：±1，±3．
當ax₁x₂=±1時，x₂=7，x₁=1，a=±
當ax₁x₂=±3時，x₂=5，x1=₃，a=±
因此，所求解析式為：y=±（x-7）（x-1）或y=±（x-5）（x-3）
即：y₁=x²-x+1，
y₂=-x²+x-1．
y₃=x²-x+3，
y₄=-x²+x-3．
故答案為：y=x²-x+3（答案不唯一）．
點評：本題主要考查用待定系數法求二次函數的解析式，此題是開放題，解題的關鍵理解題意．還要注意利用待定系數法求函數解析式，當題目中出現二次函數與x軸的交點坐標時，采用交點式比較簡單．