Question

（2006•陜西）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E，F分別是BC，AC的中點，延長BA到點D，使AD=AB．連接DE，DF．
（1）求證：AF與DE互相平分；
（2）若BC=4，求DF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接EF、AE，證四邊形AEFD是平行四邊形即可．
（2）注意應用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等，求得AE長即可．
解答：（1）證明：連接EF，AE．
∵點E，F分別為BC，AC的中點，
∴EF∥AB，EF=AB．
又∵AD=AB，
∴EF=AD．
又∵EF∥AD，
∴四邊形AEFD是平行四邊形．
∴AF與DE互相平分．

（2）解：在Rt△ABC中，
∵E為BC的中點，BC=4，
∴AE=BC=2．
又∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴DF=AE=2．
點評：本題考查了平行四邊形的判定，有中點時需考慮運用三角形的中位線定理或者直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．