Question

如圖，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合．展開后，折痕DE分別交AB、AC于點E、G．連接GF．下列結論：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S_△AGD=S_△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．
其中正確結論的序號是（　　）

• A、①②③④⑤
• B、①②③④
• C、①③④⑤
• D、①④⑤

Answer 1

分析：①根據折疊的性質我們能得出∠ADG=∠ODG，也就求出了∠ADG的度數，那么在三角形AGD中用三角形的內角和即可求出∠AGD的度數；
②由tan∠AED=

AD

AE

，AE=EF＜BE，即可求得tan∠AED=

AD

AE

＞2，即可得②錯誤；
③由AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，根據同高三角形面積的比等于對應底的比，即可求得即可求得S_△AGD＞S_△OGD；
④我們根據折疊的性質就能得出AE=EF，AG=GF，只要再證出AE=AG就能得出AEFG是菱形，可用角的度數進行求解，①中應經求出了∠AGD的度數，那么就能求出∠AGE的度數，在直角三角形AED中，有了∠ADE的度數，就能求出∠AED的度數，這樣得出AE=AG后就能證出AEFG是菱形了．
⑤我們可通過相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例關系，然后再在直角三角形BEF中求出BE和EF的關系，進而求出BE和OG的關系．

解答：解：∵在正方形紙片ABCD中，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，
∴∠GAD=45°，∠ADG=

1

2

∠ADO=22.5°，
∴∠AGD=112.5°，
∴①正確．

∵tan∠AED=

AD

AE

，AE=EF＜BE，
∴AE＜

1

2

AB，
∴tan∠AED=

AD

AE

＞2，
∴②錯誤．

∵AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，
∴S_△AGD＞S_△OGD，
∴③錯誤．

根據題意可得：AE=EF，AG=FG，
又∵EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
又∵∠AEG=∠FEG，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG=EF=FG，
∴四邊形AEFG是菱形，
∴④正確．

∵在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE²=2EF²=2GF²=2×2OG²，
∴BE=2OG．
∴⑤正確．
故其中正確結論的序號是：①④⑤．
故選D．

點評：主要考查了正方形的性質，菱形的判定，相似三角形的判定和性質等知識點，根據折疊的性質的角和邊相等是解題的關鍵．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．