Question

若x₁和x₂分別是一元二次方程2x²+7x-4=0的兩根．
（1）求|x₁-x₂|的值；  （2）x₁³+x₂³．

Answer 1

分析：（1）先利用根與系數的關系得到兩根之和及兩根之差，再對要求的代數式變形，把數值代入求解即可；
（2）利用立方和公式把代數式因式分解，再變形．再利用根與系數的關系即可求解．

解答：解：（1）∵x₁和x₂分別是一元二次方程2x²+7x-4=0的兩根．
∴x₁+x₂=-

b

a

=-

7

2

，x₁•x₂=

c

a

=-2，
∵|x₁-x₂|=

(x1+x2)  2-4x 1•x 2

=

9

2

（2）∵x₁³+x₂³=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）
=（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]
∵x₁+x₂=-

b

a

=-

7

2

，x₁•x₂=

c

a

=-2，
∴原式=-

511

8

．

點評：本題考查了根與系數的關系，常用根與系數的關系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數．③不解方程求關于根的式子的值，如求，x₁²+x₂²等等．