Question

某低碳節能產品的年產量不超過100萬件，該產品的生產費用y（萬元）與年產量x（萬件）之間的函數圖象是頂點在原點的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數圖象是如圖②所示的一條線段，生產出的產品都能在當年銷售完，達到產銷平衡．

（1）求y與x以及z與x之間的函數關系式；
（2）設年產量為x萬件時，所獲毛利潤為w萬元，求w與x之間的函數關系式；并求年產量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤是多少？（毛利潤=銷售額-生產費用）．

Answer 1

解：圖①可得函數經過點（100，1000），
設拋物線的解析式為y=ax²（a≠0），
將點（100，1000）代入得：1000=10000a，
解得：a=，
故y與x之間的關系式為y=x²．
圖②可得：函數經過點（0，30）、（100，20），
設z=kx+b，則，
解得：，
故z與x之間的關系式為z=-x+30；
（2）年產量為x萬件時，生產費用為x²，銷售額為：zx=（-x+30）x=-x²+30x，
則w=-x²+30x-x²=-x²+30x=-（x²-150x）=-（x-75）²+1125，
當x=75時，獲得毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元．
答：當年產量為75萬件時，獲得毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元．
分析：（1）利用待定系數法可求出y與x以及z與x之間的函數關系式；
（2）根據（1）的表達式及毛利潤=銷售額-生產費用，可得出w與x之間的函數關系式，再利用配方法求函數最值即可．
點評：本題考查了二次函數的應用及一次函數的應用，解答本題的關鍵是利用待定系數法求函數解析式，注意培養自己利用數學知識解決實際問題的能力，難度一般．