Question

（2009•濟南）（1）已知，如圖①，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，且BF=DE．求證：AE=CF；
（2）已知，如圖②，AB是⊙O的直徑，CA與⊙O相切于點A．連接CO交⊙O于點D，CO的延長線交⊙O于點E．連接BE、BD，∠ABD=30°，求∠EBO和∠C的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明△BCF≌△DAE，再利用全等三角形的性質可得出：AE=CF；
（2）先求出∠EBO，再利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，可求出∠AOC，從而求出∠C的度數．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴∠ADE=∠FBC．（1分）
在△ADE和△CBF中，
∵AD=BC，∠ADE=∠FBC，DE=BF，
∴△ADE≌△CBF．（2分）
∴AE=CF．（3分）

（2）解：∵DE是⊙O的直徑，
∴∠DBE=90°．（1分）
∵∠ABD=30°，
∴∠EBO=∠DBE-∠ABD=90°-30°=60°．（2分）
∵AC是⊙O的切線，
∴∠CAO=90°．（3分）
又∠AOC=2∠ABD=60°，
∴∠C=180°-∠AOC-∠CAO=180°-60°-90°=30°．（4分）
點評：利用了全等三角形的判定和性質，以及切線的性質、圓的直徑所對的圓周角為直角，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍．