Question

（2009•濟(jì)南）已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為x=-1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（-3，0），C（0，-2）
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長最小．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）．過點(diǎn)D作DE∥PC交x軸于點(diǎn)E．連接PD、PE．設(shè)CD的長為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．試說明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線過C（0，-2）點(diǎn)，那么c=-2；根據(jù)對(duì)稱軸為x=-1，因此-=-1，然后將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，通過聯(lián)立方程組即可得出拋物線的解析式．
（2）本題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，由于A是B點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，因此連接AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是P點(diǎn)．可根據(jù)A，C的坐標(biāo)求出AC所在直線的解析式，然后根據(jù)得出的一次函數(shù)的解析式求出與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）△PDE的面積=△OAC的面積-△PDC的面積-△ODE的面積-△AEP的面積
△OAC中，已知了A，C的坐標(biāo)，可求出△OAC的面積．
△PDC中，以CD為底邊，P的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，即可表示出△PDC的面積．
△ODE中，可先用m表示出OD的長，然后根據(jù)△ODE與△OAC相似，求出OE的長，根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式可用m表示出△ODE的面積．
△PEA中，以AE為底邊（可用OE的長表示出AE），P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，可表示出△PEA的面積．
由此可表示出△ODE的面積，即可得出關(guān)于S，m的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出三角形的最大面積以及對(duì)應(yīng)的m的值．
解答：解：（1）由題意得，
解得，
∴此拋物線的解析式為y=x²+x-2．

（2）連接AC、BC．

因?yàn)锽C的長度一定，
所以△PBC周長最小，就是使PC+PB最小．
B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是A點(diǎn)，AC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．
設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b，
則，
解得，
∴此直線的表達(dá)式為y=-x-2，
把x=-1代入得y=-
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-）．

（3）S存在最大值，
理由：∵DE∥PC，即DE∥AC．
∴△OED∽△OAC．
∴，即，
∴OE=3-m，OA=3，AE=m，
∴S=S_△OAC-S_△OED-S_△AEP-S_△PCD
=×3×2-×（3-m）×（2-m）-×m×-×m×1
=-m²+m=-（m-1）²+
∵
∴當(dāng)m=1時(shí)，S最大=．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似等重要知識(shí)點(diǎn)；
（3）中無法直接求出三角形的面積時(shí)，可用其他圖形的面積經(jīng)過“和，差”的關(guān)系來求出其面積．