Question

不過圓心的直線l交⊙O于C、D兩點，AB是⊙O的直徑，AE⊥l于E，BF⊥l于F．
（1）如圖，在下面三個圓中分別補畫出滿足上述條件的具有不同位置關系的圖形；
（2）請你觀察（1）中所畫的圖形，寫出一個各圖都具有的兩條線段相等的結論（不再標注其它字母，找結論的過程中所連輔助線不能出現在結論中，不寫推理過程）；
（3）請你選擇（1）中的一個圖形，證明（2）所得出的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）考查你的畫圖能力和思維能力，這里要滲透發散思維，要分情況而論；
（2）利用平行線的性質即可找出EC=FD；
（3）利用垂徑定理即可證明．
解答：解：（1）如下圖所示．

（2）EC=FD和ED=FC．
證明：①EC=FD．
根據垂徑定理，CH=DH，
根據中位線定理，EH=FH，
所以EH-CH=FH-DH，
故EC=DF．
②ED=FC．
因為ED=EF+DF，
FC=EF+EC，
由①可得，
EC=DF，
所以ED=FC．

（3）以①圖為例來證明．
過O作OH⊥l于H，
∵AE⊥l，BF⊥l，
∴AE∥OH∥BF，
又∵OA=OB，
∴EH=HF，再由垂徑定理可得CH=DH，
∴EH-CH=FH-DH，
即EC=FD．
以②圖為例來證明．
過O作OH⊥l于H，
∵AE⊥l，BF⊥l，
∴AE∥OH∥BF，
又∵OA=OB，
∴EH=HF（一組平行在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等），再由垂徑定理可得CH=DH，
∴EH-CH=FH-DH，
即EC=FD．
點評：本題綜合考查了學生的幾何知識，做幾何題畫圖是關鍵，所以學生一定要養成畫圖的習慣．