Question

已知：如圖，△ABC中，AB＝3，∠BAC＝120°，AC＝1，D為AB延長線上一點，BD＝1，點P在∠BAC的平分線上，且滿足△PAD是等邊三角形．

【小題1】求證：BC＝BP；
【小題2】求點C到BP的距離．

Answer 1

【小題1】證明：如圖，連結PC．

∵AC＝1，BD＝1， ∴AC＝BD．
∵∠BAC＝120°，AP平分∠BAC，

∵△PAD是等邊三角形，
∴PA＝PD，∠D＝60°．
∴∠1＝∠D．
∴△PAC≌△PDB．
∴PC＝PB，∠2＝∠3．
∴∠2＋∠4＝∠3＋∠4，∠BPC＝∠DPA＝60°．
∴△PBC是等邊三角形，BC＝BP．
證法二：作BM∥PA交PD于M，證明△PBM≌△BCA．
【小題2】解法一：如圖，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．

∵AB＝3，BD＝1， ∴AD＝4．
∵△PAD是等邊三角形，PF⊥AB，


∴BF＝DF－BD＝1，

   
即點C到BP的距離等于
解法二：作BN⊥DP于N，

以下同解法一．

解析