Question

如圖，在直角坐標系中，點P的坐標是（n，0）（n＞0），拋物線y=-x²+bx+c經過原點O和點P．已知正方形ABCD的三個頂點為A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
（1）求c，b并寫出拋物線對稱軸及y的最大值（用含有n的代數式表示）；
（2）求證：拋物線的頂點在函數y=x²的圖象上；
（3）若拋物線與直線AD交于點N，求n為何值時，△NPO的面積為1；
（4）若拋物線經過正方形區域ABCD（含邊界），請直接______寫出n的取值范圍．
（參考公式：y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-，）

Answer 1

【答案】分析：（1）把拋物線經過的兩個點O點和P點的坐標代入解析式就可以求出c、b的值，從而也就可以求出拋物線的解析式，再化為頂點式就可以求出對稱軸和最大值．
（2）通過（1）的解析式表示出拋物線的頂點式，再代入y=x²的解析式，就可以證明拋物線的頂點在y=x²上．
（3）由點A、點D的坐標可以表示出N的坐標，再根據n的取值范圍和三角形的面積建立等量關系求出n的值．
（4）由拋物線經過正方形區域ABCD（含邊界），分別把A（2，2），B（3，2），C（3，3），D（2，3）中的橫、縱坐標代入拋物線解析式y=-x²+nx，得n=3；n=；n=4；n=．因此，n的取值范圍是3≤n≤4．
解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=-x²+bx+c，得c=0．
再把x=n，y=0代入y=-x²+bx，
得-n²+bn=0．
∵n＞0，
∴b=n．
∴y=-x²+nx=-（x-）²+，
∴y的最大值為．
，（2）∵拋物線頂點為（，），
把x=代入y=x²=，
∴拋物線的頂點在函數y=x²的圖象上．

（3）當x=2時，y=2n-4，
∴點N為（2，2n-4）．
當n=2時，P、N兩點重合，△NPO不存在．
當n＞2時，解n（2n-4）=1，得n=1±．
∵n＞2，
∴n=1+．
當0＜n＜2時，解n（4-2n）=1，得n₁=n₂=1．
∴n=1+或n=1時，△NPO的面積為1．

（4）3≤n≤4．
點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值，待定系數法求函數的解析式及三角形面積公式的運用．