Question

（1）如果

2x+1

x-1

=2+

m

x-1

，求常數m的值；
（2）在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都是整數的點叫做整點，請你求出函數y=

2x+1

x-1

的圖象上所有整點的坐標；
（3）我們知道一次函數y=x+2的圖象可以由函數y=x的圖象向左平移2個單位得到，那么函數y=

2x+1

x-1

的圖象可以由函數y=

m

x

經過怎樣的平移得到？

Answer 1

分析：（1）方程兩邊同乘x-1，把分式方程轉化為整式方程，整理即可求出常數m的值；
（2）把所給函數解析式化為整式，進而整理為兩數積的形式，根據整點的定義判斷積的可能的形式，找到整點的個數即可；
（3）首先把函數解析式變為y=

3

x-1

+2的形式，再根據雙曲線平移k值不變，利用“左減右加，上加下減”的規律即可求解．

解答：解：（1）去分母，得2x+1=2（x-1）+m，
化簡得：m=3；

（2）將函數表達式變形，得xy-y=2x+1，
xy-2x-y+2=3，
x（y-2）-（y-2）=3，
（x-1）（y-2）=3．
∵x，y都是整數，
∴（x-1），（y-2）也是整數．
∴

x-1=1 y-2=3

或

x-1=-1 y-2=-3

或

x-1=3 y-2=1

或

x-1=-3 y-2=-1

，
解得

x=2 y=5

或

x=0 y=-1

或

x=4 y=3

或

x=-2 y=1

．
∴解得的整點為：（-2，1），（0，-1），（2，5），（4，3）；

（3）∵y=

2x+1

x-1

=

2(x-1)+3

x-1

=

3

x-1

+2，
∴由函數y=

3

x

的圖象先向右平移1個單位，再向上平移2個單位，即可得到函數y=

2x+1

x-1

的圖象．

點評：本題考查分式方程的解法，函數圖象上整點的求法，圖形的平移變換和函數解析式之間的關系．在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．平移后解析式有這樣一個規律“左加右減，上加下減”．關鍵是要搞清楚平移前后的解析式有什么關系．