Question

【題目】（1）求證：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．（要求：畫出圖形，寫出已知，求證和證明過程）

（2）用（1）中的結論解決：如圖，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BE平分∠ABC， 求證：點E在線段AB的垂直平分線上．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）先畫出圖形，寫出已知、求證，過Q作MN⊥AB于C，推出∠QCA=∠QCB=90°，根據HL推出Rt△QCA≌Rt△QCB，根據全等三角形的性質得出AC=BC，即可得出答案；（2）根據題意可得∠CBA=60°，由角平分線可得∠ABE=30°，即可證明∠ABE=∠A，可得BE=AE，根據（1）即可證明結論.

(1)已知：如圖，QA=QB.

求證：點Q在線段AB的垂直平分線上．

證明：過點Q作MN⊥AB，垂足為點C.則∠QCA=∠QCB=90°

在Rt△QCA和Rt△QCB中，

∵QA=QB ,QC=QC

∴Rt△QCA≌Rt△QCB(H.L.)

∴AC=BC

∴點Q在線段AB的垂直平分線上．

即到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．

（2）證明：∵∠C=90°∠A=30°，

∴∠ABC=90°30°=60°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠ABC=×60°=30°，

∴∠A=∠ABE，

∴EA=EB，

∴點E在線段AB的垂直平分線上．