Question

（2005•深圳）已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點D為BC的中點，點A在第一象限內，AB與y軸的正半軸相交于點E，點B（-1，0），P是AC上的一個動點（P與點A、C不重合）
（1）求點A、E的坐標；
（2）若y=x²+bx+c過點A、E，求拋物線的解析式；
（3）連接PB、PD，設L為△PBD的周長，當L取最小值時，求點P的坐標及L的最小值，并判斷此時點P是否在（2）中所求的拋物線上，請充分說明你的判斷理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABC是邊長為4的等邊三角形，則BC=4，而點D為BC的中點，BD=2，點B（-1，0），則OD=1，就可以求出A的橫坐標，等邊三角形的高線長，就是A的縱坐標．在直角三角形OBE中，根據三角函數可以求出OE的長，即得到E點的縱坐標．
（2）已經求出A，E的坐標，根據待定系數法就可以求出函數的解析式．
（3）先作點D關于AC的對稱點D'，連接BD'交AC于點P，則PB與PD的和取最小值，即△PBD的周長L取最小值．根據三角函數求的D′的坐標，再求出直線BD′的解析式，以及直線AC的解析式，兩直線的交點就是P的坐標．把點P的坐標代入二次函數的解析式，就可以判斷是否在函數的圖象上．
解答：解：（1）連接AD，
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，又B的坐標為（-1，0），BC在x軸上，A在第一象限，
∴點C在x軸的正半軸上，
∴C的坐標為（3，0），由中點坐標公式，得：D的坐標為（1，0）．
顯然AD⊥BC且AD=BD=2，
∴A的坐標是（1，2）．
OE=AD，得E（0，）；

（2）因為拋物線y=x²+bx+c過點A、E，
由待定系數法得：c=，b=，
拋物線的解析式為y=；

（3）大家記得這樣一個常識嗎？
“牽牛從點A出發，到河邊l喝水，再到點B處吃草，走哪條路徑最短”即確定l上的點P，
方法是作點A關于l的對稱點A'，連接A'B與l的交點P即為所求．
本題中的AC就是“河”，B、D分別為“出發點”和“草地”．
由引例并證明后，得先作點D關于AC的對稱點D'，
連接BD'交AC于點P，則PB與PD的和取最小值，
即△PBD的周長L取最小值．
∵D、D′關于直線AC對稱，
∴DD′⊥AC，即∠D′DC=30°，
DF=，DD'=2，
求得點D'的坐標為（4，），
直線BD'的解析式為：x+，
直線AC的解析式為：，
求直線BD'與AC的交點可得點P的坐標（，）．
此時BD'===2，
所以△PBD的最小周長L為2+2，
把點P的坐標代入y=成立，所以此時點P在拋物線上．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，求兩條線段的和最小的問題，一般是轉化為兩點之間線段最短的問題．