Question

【題目】請閱讀下列材料：

我們可以通過以下方法求代數式x2+6x+5的最小值．

x2+6x+5=x2+2x3+32﹣32+5=（x+3）2﹣4，

∵（x+3）2≥0

∴當x=﹣3時，x2+6x+5有最小值﹣4．

請根據上述方法，解答下列問題：

（Ⅰ）x2+4x﹣1=x2+2x2+22﹣22﹣1=（x+a）2+b，則ab的值是_____；

（Ⅱ）求證：無論x取何值，代數式x2+2x+7的值都是正數；

（Ⅲ）若代數式2x2+kx+7的最小值為2，求k的值．

Answer 1

【答案】﹣10

【解析】

（Ⅰ）根據配方的過程求得a、b的值代入求值即可；

（Ⅱ）先利用完全平方公式配方，再根據偶次方非負數的性質列式求解；

（Ⅲ）先利用完全平方公式配方，再根據偶次方非負數的性質列式求解．

（Ⅰ）∵x2+4x﹣1=x2+2x2+22﹣22﹣1=（x+2）2﹣5=（x+a）2+b，

∴a=2，b=﹣5，

∴ab=2×（﹣5）=﹣10．

故答案是：﹣10；

（Ⅱ）證明：x2+2x+7=x2+2x+（）2﹣（）2+7=（x+）2+1．

∵（x+）2≥0，

∴x2+2x+7的最小值是1，

∴無論x取何值，代數式x2+2x+7的值都是正數；

（Ⅲ）2x2+kx+7=（x）+2x+（k）2﹣（k）2+7=（x+k）2﹣k2+7．

∵（x+k）2≥0，

∴（x+k）2﹣k2+7的最小值是﹣k2+7，

∴﹣k2+7=2，

解得k=±2．