Question

【題目】【問題提出】如圖①，已知海島A到海岸公路BD的距離為AB，C為公路BD上的酒店，從海島A到酒店C，先乘船到登陸點D，船速為a，再乘汽車，車速為船速的n倍，點D選在何處時，所用時間最短？
【特例分析】若n=2，則時間t= + ，當a為定值時，問題轉化為：在BC上確定一點D，使得AD+ 的值最�。�如圖②，過點C做射線CM，使得∠BCM=30°．

（1）過點D作DE⊥CM，垂足為E，試說明：DE= ；
（2）【問題解決】請在圖②中畫出所用時間最短的登陸點D′，并說明理由．
（3）【模型運用】請你仿照“特例分析”中的相關步驟，解決圖①中的問題（寫出具體方案，如相關圖形呈現、圖形中角所滿足的條件、作圖的方法等）．
（4）如圖③，海面上一標志A到海岸BC的距離AB=300m，BC=300m．救生員在C點處發現標志A處有人求救，
立刻前去營救，若救生員在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，求救生員從C點出發到
達A處的最短時間．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①，

∵DE⊥CM，∴∠DEC=90°，

∴在Rt△BCM中，DE=CDsin30°，

∴DE= ．

（2）解：如圖①過點A作AE⊥CM交CB于點D'，則D'點即為所用時間最短的登陸點．

理由如下：由第（1）問可知，D'E'= ．

AD'+ 最短，即為AD'+D'E′最短．

由直線外一點與這條直線上點的所有連線段中，垂線段最短．

可知此時D'點即為所求

（3）解：如圖②，

過點C做射線CM，使得sin∠BCM= ，

過點A作AE⊥CM，垂足為E，交CB于點D，則D即為所用時間最短的登陸點．

（4）解：∵救生員在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，

∴此時sin∠BCM= ，可得sin∠DAB= ，

∴在Rt△ADB中，AB=300，

AD=225 ，DB=75 ，CD=300﹣75 ．

∴時間為 + =（50+100 ）s．

【解析】（1）在Rt△BCM中利用三角函數可求得；
（2）根據垂線段最短，可作出所用時間最短的登陸點D′；
（3）由“特例分析”可知n=2，則作∠BCM=30°，再仿照（2）的作法可得；
（4）由救生員在岸上跑的速度和在海中游泳的速度可求出sin∠BCM的值和sin∠DAB的值，在Rt△ADB中求出AD、BD，從而得到CD，從而可求得時間.