Question

定義：在平面內，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．
如以正方形ABCD的四個頂點中某一點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出8個不同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一個）．
（1）作兩個相鄰的正方形（如圖一）．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數記為f（2），試求f（2）的值；

（2）作n個相鄰的正方形（如圖二）“一字型”排開．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數記為f（n），試求f（n）的值；

（3）作2×3個相鄰的正方形（如圖三）排開．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數記為f（2×3），試求f（2×3）的值；

（4）作m×n個相鄰的正方形（如圖四）排開．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數記為f（m×n），試求f（m×n）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖形，即可求得f（2）的值；
（2）首先求f（1），f（2），f（3），f（4），所以得到規律為：f（n）=6n+2；
（3）根據圖形，即可求得f（2×3）的值；
（4）先分析特殊情況，再求得規律：f（m×n）=2（m+n）+4mn．
解答：解：（1）作兩個相鄰的正方形，以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數f（2）=14；

（2）分別求出作兩個、三個、四個相鄰的正方形（如圖1）．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同的向量個數，找出規律，
∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26，
∴f（n）=6n+2；

（3）f（2×3）=34；

（4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62
∴f（m×n）=2（m+n）+4mn．
點評：此題考查了向量的知識．注意解此題的關鍵是找到規律：f（n）=6n+2與f（m×n）=2（m+n）+4mn．