Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，連接AD，在AD的延長線上取一點E，連接BE，CE．
（1）求證：△ABE≌△ACE；
（2）當AE與AD滿足什么數量關系時，四邊形ABEC是菱形？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：由題意可知三角形三線合一，結合SAS可得△ABE≌△ACE．四邊形ABEC相鄰兩邊AB=AC，只需要證明四邊形ABEC是平行四邊形的條件，當AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）時，根據對角線互相平分，可得四邊形是平行四邊形．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵點D為BC的中點，
∴∠BAE=∠CAE（三線合一），
在△ABE和△ACE中，
∵，
∴△ABE≌△ACE（SAS）．

（2）解：當AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）時，四邊形ABEC是菱形
理由如下：
∵AE=2AD，∴AD=DE，
又∵點D為BC中點，
∴BD=CD，
∴四邊形ABEC為平行四邊形，
∵AB=AC，
∴四邊形ABEC為菱形．
點評：本題考查了全等三角形和等腰三角形的性質和菱形的判定定理，比較容易．