Question

如圖，已知△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠CAB=∠EAF，BE交FC于D點．
（1）當∠CAB=90゜時，求證：BE=CF，BE⊥CF；
（2）當∠CAB=60゜時，求∠BOC的度數；
（3）當∠CAB=α時（0゜＜α＜90゜），直接寫出∠BOC的度數為

α

（用含及的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）求出∠BAE=∠CAF，根據SAS推出△BAE≌△CAF，推出BE=CF，∠ABE=∠ACF，根據三角形內角和定理推出∠COQ=90°即可；
（2）求出∠EBA+∠BQA=120°，求出∠ACF+∠CQO=120°，即可得出答案；
（3）求出∠EBA+∠BQA=180°-α，求出∠ACF+∠CQO=180°-α，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵∠CAB=∠EAF，
∴∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，

BA=AC ∠BAE=∠CAF AE=AF

，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE=CF，∠EBA=∠ACF，
∵∠CAB=90°，
∴∠EBA+∠BQA=90°，
∵∠BQA=∠CQE，
∴∠ACF+∠CQE=90°，
∴∠COQ=180°-90°=90°，
∴BE⊥CF．

（2）解：∵∠CAB=60°，
∴∠EBA+∠BQA=180°-60°=120°，
∵∠BQA=∠CQE，∠ACF=∠ABE，
∴∠ACF+∠CQE=120°，
∴∠COQ=180°-120°=60°，

（3）解：∵∠CAB=α，
∴∠EBA+∠BQA=180°-α，
∵∠BQA=∠CQE，∠ACF=∠ABE，
∴∠ACF+∠CQE=180°-α，
∴∠COQ=180°-（180°-α）=α．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定和三角形內角和定理的應用，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．