Question

關于x的二次函數y=2sinax2-(4sina+

1

2

)x-sina+

1

2

，其中a為銳角，則：
①當a為30°時，函數有最小值-

25

16

；
②函數圖象與坐標軸可能有三個交點，并且當a為45°時，連接這三個交點所圍成的三角形面積小于1；
③當a＜60°時，函數在x＞1時，y隨x的增大而增大；
④無論銳角a怎么變化，函數圖象必過定點．
其中正確的結論有（　　）

A．①②

B．①②③

C．①②④

D．②③④

Answer 1

分析：①由于2sina＞0，所以函數一定有最小值，將a的值代入拋物線的解析式中，將解析式寫成頂點式可得函數的最小值．
②令y=0，在所得方程中若根的判別式大于0，那么拋物線的圖象與坐標軸的交點可能有三個：
與x軸有兩個交點，與y軸有一個交點；當拋物線經過原點時，拋物線的圖象與坐標軸只有兩個交點．
首先將a的值代入解析式，先設拋物線與x軸的兩個交點橫坐標為x₁、x₂，那么這兩點間的距離可表示為|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

，以這條線段為底，拋物線與y軸交點縱坐標的絕對值為高即可得到三交點圍成的三角形的面積值，然后判斷是否小于1即可．
③由①知，拋物線的開口向上，所以一定有最小值；首先求出拋物線的對稱軸方程，若x=1在拋物線對稱軸右側，那么y隨x的增大而增大；若x=1在拋物線對稱軸的左側，那么隨x的增大，y值先減小后增大．
④圖象若過定點，那么函數值就不能受到變量sina的影響，所以先將所有含sina的項拿出來，然后令sina的系數為0，可據此求出x的值，將x的值代入拋物線的解析式中，即可得到這個定點的坐標．

解答：解：①當a=30°時，sina=

1

2

，二次函數解析式可寫作：y=x²-

5

2

x=（x-

5

4

）²-

25

16

；
所以當a為30°時，函數的最小值為-

25

16

；故①正確．
②令y=0，則有：2sinax²-（4sina+

1

2

）x-sina+

1

2

=0，
△=（4sina+

1

2

）²-4×2sina×（-sina+

1

2

）=24sin²a+

1

4

＞0，
所以拋物線與x軸一定有兩個交點，再加上拋物線與y軸的交點，即與坐標軸可能有三個交點（當圖象過原點時，只有兩個交點）；
設拋物線與x軸的交點為（x₁，0）、（x₂，0）；
當a=45°時，sina=

2

2

，得：y=

2

x²-（2

2

+

1

2

）x-

2 -1

2

，則：
三角形的面積 S=

1

2

|x₁-x₂|×

2 -1

2

=

2 -1

4

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 -1

4

×

( 2 2 + 1 2 2 )2-4× - 2 -1 2 2

≈0.3＜1
故②正確．
③∵2sina＞0，且對稱軸x=-

b

2a

=1+

1

8sina

＞1，
∴x=1在拋物線對稱軸的左側，因此 x＞1時，y隨x的增大先減小后增大；
故③錯誤．
④y=2sinax²-（4sina+

1

2

）x-sina+

1

2

=sina（2x²-4x-1）-

1

2

x+

1

2

；
當2x²-4x-1=0，即 x=1±

6

2

時，拋物線經過定點，且坐標為：（1+

6

2

，-

6

4

）、（1-

6

2

，

6

4

）；
故④正確．
綜上，正確的選項是①②④，故選C．

點評：此題雖然是選擇題，但難度和計算量都比較大，將三角函數與二次函數綜合在一起的形式也加大了題目的難度．主要涉及到：二次函數最值的求法、三角形面積的求法、二次函數與一元二次方程以及不等式的聯系等幾方面的知識，這就要求同學對基礎知識的牢固掌握并進一步做到靈活運用．