Question

（9分）如圖，在中，AC、BD交于點(diǎn)O，∠ABC=60°,AB=1,E、F分別是線段BO、DO上不與點(diǎn)O重合的點(diǎn)，且BE=DF．

小題1:（1）探究：當(dāng)BC的長(zhǎng)為多少時(shí)，四邊形AECF是菱形？并說明理由．
小題2:（2）當(dāng)四邊形AECF是正文形時(shí)，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

小題1:（1）當(dāng)BC=1時(shí)，四邊形AECF是菱形.理由如下：………………（1分）
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，………………（2分）
∵BE=DF，
∴OB―BE=OD―DF，
即OE=OF，……………………（3分）
∴四邊形AECF是平行四邊形，……（4分）
當(dāng)BC=AB=1時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
即AC⊥EF，∴平行四邊形AECF是菱形.
小題2:（2）由于正方形是特殊的菱形，由（1）知，此時(shí)四邊形ABCD和AECF均為菱形.
∵∠ABC=60°，AB=1，AC⊥BD，
∴△ADC和△ABC均為等邊三角形，且AO=CO=，BO=DO=.………（8分）
當(dāng)四邊形AECF是正方形時(shí)，EO=FO=AO=CO=，
∴DF=DO－FO=－=

略