Question

（1997•山西）順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形是正方形時，原四邊形的對角線需滿足的條件是（　　）

A．對角線相等

B．對角線垂直

C．對角線相等且垂直

D．一條對角線平分另一條對角線

Answer 1

分析：由于四邊形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中點，易知GF是△ACD的中位線，于是GF∥AC，GF=

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2

AC，同理可得IG∥BD，IG=

1

2

BD，易求AC=BD，又由于GF∥AC，∠IGF=90°，利用平行線性質(zhì)可得∠IHO=90°，而IG∥BD，易證∠BOC=90°，即AC⊥BD，從而可證四邊形ABCD的對角線互相垂直且相等．

解答：解：如右圖所示，四邊形ABCD的各邊中點分別是I、E、F、G，且四邊形EFGI是正方形，
∵四邊形EFGI是正方形，
∴∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，
又∵G、F是AD、CD中點，
∴GF是△ACD的中位線，
∴GF∥AC，GF=

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2

AC，
同理有IG∥BD，IG=

1

2

BD，
∴

1

2

AC=

1

2

BD，
即AC=BD，
∵GF∥AC，∠IGF=90°，
∴∠IHO=90°，
又∵IG∥BD，
∴∠BOC=90°，
即AC⊥BD，
故四邊形ABCD的對角線互相垂直且相等．
故選：C．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線性質(zhì)．解題的關鍵是連接AC、BD，構造平行線．