Question

【題目】我們給出如下定義：有一組相鄰內角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”.請解答下列問題：

(1)“梯形、長方形、正方形”中“等鄰角四邊形”是____________；

(2)如圖，在中，，點在上，且，點、分別為、的中點，連接并延長交于點.求證：四邊形是“等鄰角四邊形”；

(3)已知：在“等鄰角四邊形”中，，，，，請畫出相應圖形，并直接寫出的長.

Answer 1

【答案】（1）長方形，正方形；（2）證明見詳解；（3）CD的長為11或或2或10+.

【解析】

（1）長方形和正方形至少有一組鄰角相等，根據等鄰角四邊形的定義即可判斷；

（2）取AC的中點為H，連接FH,EH,由三角形中位線可得EH∥AB,且EH= AB；FH∥CD,且FH= CD,進而得到AB=CD,EH=FH,根據平行線性質可得∠2=∠4,∠1=∠3，進而得到∠4=∠3, 根據等角的補角相等可得∠AGE=∠GEC,進而得出結論；

（3）分四種情況：①∠D=∠A=90°時,② ∠A=∠B=90°時，③∠B=∠C=60°時，④∠C=∠D=60°時，分別畫出四種情況的圖形，作出輔助線，根據三角形的條件即可求得.

（1）長方形，正方形；

（2）如圖所示，取AC中點為H連接FH,EH,

∵E為BC中點，

∴EH為的中位線，

∴EH∥AB,且EH= AB,

同理，FH∥CD,且FH= CD,

∵AB=AC,CD=AC,

∴AB=CD,EH=FH,

∴∠1=∠2,

∵EH∥AB,FH∥CD,

∴∠2=∠4,∠1=∠3,

∴∠4=∠3,

∵∠AGE+∠4=180°,∠GEC+∠3=180°,

∴∠AGE=∠GEC,

∴四邊形AGEC是等鄰角四邊形；

（3）①當∠D=∠A=90°時,

如圖所示，作BE⊥CD于E,

∵∠A=∠D=∠BED=90°,

∴四邊形ADEB為矩形，

∴DE=AB=6，

在中，BC=10,∠C=60°,

∴CE=5,

∴CD=DE+CE=11;

②當∠A=∠B=90°時，

如圖所示，作CE⊥AD交AD的延長線于E,

∵∠A=∠B=∠E,

∴四邊形AECB為矩形，

∴AE=BC=10,CE=AB=6,

在中，∠DCE=∠BCE-∠BCD=30°,

設DE=x，則CD=2x,由勾股定理得：

解得：

∴CD= ；

③當∠B=∠C=60°時，

如圖所示，分別延長AD,BC交于點E，

在中，∠B=60°，AB=6,

∴BE=2AB=12, ∠E=30°,

∴CE=BE-BC=12-10=2,

∵∠BCD=60°,

∴∠CDE=∠CED=30°,

∴CD=CE=2,

④當∠C=∠D=60°時，

如圖，分別延長DA,CB交于點E,

∵∠C=∠D=60°,

∴∠E=60°,CD=CE,

在中，∠E=60°,AB=6,

設AE=x，則BE=2x,由勾股定理得：

解得：

∴BE=,

∴CD=BC+BE=10+;

∴綜上所述，CD的長為11或或2或10+.