Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一個圓心角為45°，半徑長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉，直線CE、CF分別與直線AB交于點M、N．
（1）如圖①，當AM=BN時，將△ACM沿CM折疊，點A落在弧EF的中點P處，再將△BCN沿CN折疊，點B也恰好落在點P處，此時，PM=AM，PN=BN，△PMN的形狀是

 

．線段AM、BN、MN之間的數量關系是

 

；
（2）如圖②，當扇形CEF繞點C在∠ACB內部旋轉時，線段MN、AM、BN之間的數量關系是

 

．試證明你的猜想；
（3）當扇形CEF繞點C旋轉至圖③的位置時，線段MN、AM、BN之間的數量關系是

 

．（不要求證明）

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質知：△CAM≌△CMP、△CNB≌△CNP，所以∠A+∠B=∠FPC+∠EPC=90°，首先可得到△PMN是直角三角形，故PM、AM、BN的數量關系符合勾股定理，即AM²+BN²=MN²；而AM=BN，所以可得到PM=PN，即△PMN是等腰直角三角形，因此PM=PN=

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MN．
（2）參照（1）的思路，可將△ACM沿CM折疊，得△DCM，然后連接DN，證△DCN≌△BCN，后面的解法同（1）．
（3）解法同（2）．

解答：解：（1）根據折疊的性質知：
△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP；
∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN；
∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN，
故△PMN是等腰直角三角形，AM²+BN²=MN²（或AM=BN=

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MN）．

（2）AM²+BN²=MN²；
將△ACM沿CM折疊，得△DCM，連DN，則△ACM≌△DCM，
∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，同理可知∠DCN=∠BCN，
△DCN≌△BCN，DN=BN，而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°
∴∠MDN=90°，
∴DM²+DN²=MN²，
故AM²+BN²=MN²．

（3）AM²+BN²=MN²；解法同（2）．

點評：此題主要考查了圖形的翻折變換以及勾股定理的應用，難度適中．