Question

24、如圖，在⊙O中，直徑AB的兩側(cè)有定點C和動點P，點P在弧AB上運動（不與A、B重合），過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q．
（1）試猜想：△PCQ與△ACB具有何種關(guān)系？（不要求證明）；
（2）當點P運動到什么位置時，△ABC≌△PCB，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）由CP⊥CQ，AB是⊙O的直徑，易得∠PCQ=∠ACB=90°，又由同弧所對的圓周角相等，即可得∠A=∠P，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可證得△PCQ∽△ACB；
（2）由△PCQ∽△ACB，只要AB=PC即可，又由AB是直徑，則可得當PC過圓心時，△ABC≌△PCB．

解答：解：（1）△PCQ∽△ACB；
理由：∵CP⊥CQ，AB是⊙O的直徑，
∴∠PCQ=∠ACB=90°，
∵∠A=∠P，
∴△PCQ∽△ACB；

（2）當PC過圓心時，△ABC≌△PCB．（4分）
證明：∵PC和AB都是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠PBC=90°，（5分）
且AB=PC，（6分）
又∠A=∠P．（7分）
∴△ABC≌△PCB．（8分）

點評：此題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的判定，全等三角形的判定的知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．