Question

已知關于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求證：無論k取任意實數值，方程總有實數根．
（2）若等腰三角形ABC的一邊a=1，另兩邊長b、c恰是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）把一元二次方程根的判別式轉化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程總有實數根．
（2）根據等腰三角形的性質分情況討論求出b，c的長，并根據三角形三邊關系檢驗，綜合后求出△ABC的周長．
解答：證明：（1）∵△=b²-4ac=（k+2）²-8k=（k-2）²≥0，
∴無論k取任意實數值，方程總有實數根．

解：（2）分兩種情況：
①若b=c，
∵方程x²-（k+2）x+2k=0有兩個相等的實數根，
∴△=b²-4ac=（k-2）²=0，
解得k=2，
∴此時方程為x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，
∴△ABC的周長為5；
②若b≠c，則b=a=1或c=a=1，即方程有一根為1，
∵把x=1代入方程x²-（k+2）x+2k=0，得1-（k+2）+2k=0，
解得k=1，
∴此時方程為x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
∴方程另一根為2，
∵1、1、2不能構成三角形，
∴所求△ABC的周長為5．
綜上所述，所求△ABC的周長為5．
點評：考查根的判別式，等腰三角形的性質及三角形三邊關系．