Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=8，DC=10，點M是AB邊的中點．
（1）求證：CM⊥DM；
（2）求點M到CD邊的距離．

Answer 1

分析：（1）延長DM，CB交于點E，證△ADM≌△BEM，推出AD=BE=2，DM=EM，求出CE=CD即可；
（2）分別作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分別為點N，F，證矩形ADFB，推出AD=BF，AB=DF，根據勾股定理求出DF，計算出MB，根據角平分線性質求出即可．

解答：證明：（1）延長DM，CB交于點E．（如圖）
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADM=∠BEM，
∵點M是AB邊的中點，
∴AM=BM．
在△ADM與△BEM中，
∠ADM=∠BEM，
∠AMD=∠BME，
AM=BM，
∴△ADM≌△BEM，
∴AD=BE=2，DM=EM，
∴CE=CB+BE=8+2=10，
∵CD=10，
∴CE=CD，
∵DM=EM，
∴CM⊥DM．

解：（2）分別作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分別為點N，F．（如圖）
∵CE=CD，DM=EM，
∴CM平分∠ECD．               
∵∠ABC=90°，即MB⊥BC，
∴MN=MB．
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°，
∵∠DFB=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴BF=AD=2，AB=DF，
∴FC=BC-BF=8-2=6，
∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，
∴DF²=DC²-FC²=10²-6²=64．
∴DF=8，
∵M為AB中點，BM=MN，AB=DF，
∴MN=MB=

1

2

AB=

1

2

DF=4，
即點M到CD邊的距離為4，
答：點M到CD邊的距離是4．

點評：本題主要考查對直角梯形，全等三角形的性質和判定，矩形的性質和判定，等腰三角形的性質，勾股定理，角平分線性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理和計算是解此題的關鍵．