Question

（本題滿分9分） 已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點,交BD于點G，交AB于點F．

（1）求證：AC與⊙O相切；

（2）當BD=2，sinC=時，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）見解析；（2）r=

【解析】

試題分析：（1）連接OE，只需證明OE⊥AC即可；（2）在△BCD中，根據BD=2，sinC=可求BC=AB=4，設⊙O 的半徑為r，則AO=4-r，在Rt△AOE中，根據sinA=sinC=，可求r的值.

試題解析：．【解析】
（1）證明：連接OE，

∵AB=BC且D是BC中點

∴BD⊥AC

∵BE平分∠ABD

∴∠ABE=∠DBE

∵OB=OE

∴∠OBE=∠OEB

∴∠OEB=∠DBE

∴OE∥BD

∴OE⊥AC

∴AC與⊙O相切

（2）∵BD=2，sinC=，BD⊥AC

∴BC=4

∴AB=4

設⊙O 的半徑為r，則AO=4-r

∵AB=BC

∴∠C=∠A

∴sinA=sinC=

∵AC與⊙O相切于點E，

∴OE⊥AC

∴sinA===

∴r=

考點：1.切線的判定；2.三角函數的應用.