Question

如圖，已知A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，P是直徑CD的延長線上的一點，且AP=AC.

（1）求證：AP與⊙O相切；

（2）如果AC=3，求PD的長.

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接OA，求出∠AOC，求出∠ACP，得出∠P，求出∠AOD，推出∠PAO=90°，根據切線判定推出即可.

（2）根據∠ACD=30°，AC=3求出DC，求出半徑，在Rt△PAO中根據勾股定理求出即可．

試題解析：（1）如圖，連接OA，

∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°.

∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°.∴∠AOP=60°.

又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°.

∴∠OAP=90°，即OA⊥AP.

∵點O在⊙O上，∴AP是⊙O的切線．

（2）如圖，連接AD，

∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD=90°.

∴AD=AC?tan30°=，CD=2AD=2.

∴DO=AO=CD=.

在Rt△PAO中，由勾股定理得：，

∴.

∵PD的值為正數，

∴PD=.

考點：1.切線的性質和判定；2.圓周角定理；3.等腰三角形的性質和判定.