Question

如圖，F是等邊△ABC的邊AC的中點，D在邊BC上，△DFE是等邊三角形，ED的延長線交AB于H，則下列結論：①∠AHD+∠AFD=180°，②AF=

1

2

BC，③CF+CE=CD，④

BH

BD

為定值，其中正確的是（　　）

A．①③

B．②③

C．①②③

D．①②④

Answer 1

分析：①根據等邊三角形的性質和四邊形內角和為360°，可得∠AHD+∠AFD=180°；
②根據等邊三角形的性質和中線的定義即可作出判斷；
③在BC上截取CG═CF，連接FG，通過證明△DFG≌△EFC即可作出判斷；
④由于無法確定∠AHD的度數，故

BH

BD

的值無法確定．

解答：解：①∵△ABC，△DFE是等邊三角形，
∴∠A=60°，∠FDE=60°，
∴∠HDF=120°，
∴∠AHD+∠AFD=360°-（120°+60°）=180°，故①正確；
②∵F是等邊△ABC的邊AC的中點，
∴AF=

1

2

AC=

1

2

BC，故②正確；
③在BC上截取CG=CF，連接FG．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△FCG是等邊三角形，
∴FG=FC，∠GFC=60°，
∵△DFE是等邊三角形，
∴FD=FE，∠DFE=60°，
∴∠DFG=∠EFC，
在△DFG與△EFC中，

FD=FE ∠DFG=∠EFC FG=FC

，
∴△DFG≌△EFC．
∴DG=EC，
CF+CE=CD，故③正確；
④無法確定∠AHD的度數，

BH

BD

不為定值，故④錯誤．
故選C．

點評：考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，本題的難點是作出輔助線，構成全等三角形．