Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一塊三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將此三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB與點D、點E，圖①，②，③是旋轉得到的三種圖形．
（1）觀察線段PD和PE之間的有怎樣的大小關系，并以圖②為例，加以說明；
（2）△PBE是否構成等腰三角形？若能，指出所有的情況（即求出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能請說明理由．

Answer 1

解：（1）PD=PE．以圖②為例，如圖，連接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P為斜邊AB的中點，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
∴△DPC≌△EPB（ASA）
∴PD=PE；

（2）能，①當EP=EB時，CE=BC=1．
②當EP=PB時，點E在BC上，則點E和C重合，CE=0．
③當BE=BP時，若點E在BC上，則CE=2-．
若點E在CB的延長線上，則CE=2+．
分析：（1）連接PC，通過證明△DPC≌△EPB，得出PD=PE．
（2）分EP=EB、EP=PB時、BE=BP三種情況進行解答．
點評：本題考查了等腰三角形的性質與判定；此題是分類討論題，應分情況進行論證，不能漏解．輔助線的作出是解答本題的關鍵．