Question

已知，四邊形ABCD中，∠BAD=60°，AB=AC=AD，對角線AC平分∠BAD，直角三角板30°角的頂點與A點重合，
（1）如圖，當三角板的兩邊分別與BC、CD交于E、F時，通過觀察或測量，猜想線段BE和CF之間的數量關系，并證明；
（2）如圖，當三角板的兩邊分別與BC、CD的延長線交于E、F時，通過觀察或測量，猜想線段BE和CF之間的數量關系，并證明．

Answer 1

分析：（1）求出∠BAC=∠EAF=30°，∠B=∠ACD，推出∠BAE=∠CAF，根據AAS證△BAE和△CAF全等即可；
（2）與（1）類似，推出∠BAE=∠CAF，根據ASA證△BAE和△CAF全等即可．

解答：（1）線段BE和CF之間的數量關系是BE=CF，
證明：∵AC平分∠BAD，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD=30°，
∵∠EAF=30°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB=

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2

（180°-∠BAC）=75°，
同理∠ACD=∠D=75°，
∴∠B=∠ACD，
在△BAE和△CAF中

∠B=∠ACD ∠BAE=∠CAF AB=AC

，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．

（2）線段BE和CF之間的數量關系是BE=CF，
證明：∵∠BAC=∠EAF=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，
即∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠B=∠ACD

，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．

點評：本題考查了含30度角的直角三角形，角平分線性質，全等三角形的性質和判定，等式的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質等知識點，主要考查學生綜合運用這些性質進行分析問題和解決問題的能力，此題綜合性比較強，但難度適中．