Question

我們給出如下定義：如果四邊形中一對頂點到另一對頂點所連對角線的距離相等，則把這對頂點叫做這個四邊形的一對等高點．例如：如圖1，平行四邊形ABCD中，可證點A、C到BD的距離相等，所以點A、C是平行四邊形ABCD的一對等高點，同理可知點B、D也是平行四邊形ABCD的一對等高點．
（1）如圖2，已知平行四邊形ABCD，請你在圖2中畫出一個只有一對等高點的四邊形ABCE（要求：畫出必要的輔助線）；
（2）已知P是四邊形ABCD對角線BD上任意一點（不與B、D點重合），請分別探究圖3、圖4中S₁，S₂，S₃，S₄四者之間的等量關系（S₁，S₂，S₃，S₄分別表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面積）：
①如圖3，當四邊形ABCD只有一對等高點A、C時，你得到的一個結論是

 

；
②如圖4，當四邊形ABCD沒有等高點時，你得到的一個結論是

 

．

Answer 1

分析：（1）在BD上任選一點E（不與B、D重合），連接AE、CE即可；
（2）根據等底等高，可得結論：①S₁+S₄=S₂+S₃，S₁+S₃=S₂+S₄或S₁×S₃=S₂×S₄或

S1

S4

=

S2

S3

等．
②S₁×S₃=S₂×S₄或

S1

S2

=

S4

S3

等．

解答：解：（1）比如：

（2）①S₁+S₄=S₂+S₃，S₁+S₃=S₂+S₄或S₁×S₃=S₂×S₄或

S1

S4

=

S2

S3

等．
②∵分別作△ABD與△BCD的高，h₁，h₂，
則

S1

S2

=

h1

h2

，

S4

S3

=

h1

h2

，
∴S₁×S₃=S₂×S₄或

S1

S2

=

S4

S3

等．

點評：此題主要考查學生的閱讀理解能力和對等底等高知識的靈活應用．