Question

關于x，y的方程x²+xy+2y²=29的整數解（x，y）的組數為（　　）

• A、2組
• B、3組
• C、4組
• D、無窮多組

Answer 1

分析：首先將方程x²+xy+2y²=29看做是關于x的一元二次方程，根據判別式中△≥0，再根據x為整數根，且是完全平方數，確定出y²的取值．解得y值，進一步確定出x的值．

解答：解：可將原方程視為關于x的二次方程，將其變形為x²+yx+（2y²-29）=0．
由于該方程有整數根，則判別式△≥0，且是完全平方數．
由△=y²-4（2y²-29）=-7y²+116≥0，
解得y²≤

116

7

≈16.57．于是

y2	0	1	4	9	16
△	116	109	88	53	4

顯然，只有y²=16時，△=4是完全平方數，符合要求．
當y=4時，原方程為x²+4x+3=0，此時x₁=-1，x₂=-3；
當y=-4時，原方程為x²-4x+3=0，此時x₃=1，x₄=3．
所以，原方程的整數解為

x1=-1 y1=4

x2=-3 y2=4

x3=1 y3=-4

x4=3 y4=-4.

故選C．

點評：本題解題的關鍵是根據一次方程中根與系數的關系，利用判別式來求解．