Question

如圖，菱形ABCD中，∠A=110°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EG⊥CD于點(diǎn)G，則∠FGC=    ．

Answer 1

【答案】分析：延長GF交AB的延長線于點(diǎn)P．根據(jù)已知可得∠B，∠BEF，∠BFE的度數(shù)，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得到∠EGF的度數(shù)，從而不難求得∠FGC的度數(shù)．
解答：解：延長GF，交AB的延長線于點(diǎn)P．
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴BF=CF，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB∥DC，
∴∠PBF=∠GCF，∠BFP=∠CFG，
在BPF與△CGF中，
，
∴△BPF≌△CGF，
∴GF=PF，
∴F為PG中點(diǎn)．
又∵由題可知，∠BEG=90°，
∴EF=PG，
∵GF=PG，
∴EF=GF，
∴∠FEG=∠EGF，
∵∠BEG=∠EGC=90°，
∴∠BEG-∠FEG=∠EGC-∠EGF，即∠BEF=∠FGC，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°-∠A=70°，
∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°-70°）=55°，
∴∠FGC=55°．
故答案為55°．
點(diǎn)評：本題主要考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定等知識點(diǎn)，靈活應(yīng)用菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，此題難度一般，作出輔助線也很關(guān)鍵．