Question

如圖,已知:在四邊形ABFC中，=90的垂直平分線EF交BC于點D,交AB于點E,且CF=AE

（1）試探究,四邊形BECF是什么特殊的四邊形;

（2）當的大小滿足什么條件時,四邊形BECF是正方形?請回答并證明你的結論.

 (特別提醒:表示角最好用數字)

 

Answer 1

【答案】

（1）四邊形BECF是菱形，證明見解析（2）當∠A=45。時，菱形BESF是正方形，證明見解析

【解析】（1）四邊形BECF是菱形。·························1分

證明：EF垂直平分BC，

∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2······2分

∵∠ACB=90°

∴∠1+∠4=90°

∠3+∠2=90°

∴∠3=∠4

∴EC=AE·····················3分

∴BE=AE··················4分

∵CF=AE

∴BE=EC=CF=BF··········5分

∴四邊形BECF是菱形·······6分

（2）當∠A=45。時，菱形BESF是正方形··7分

證明：

∵∠A=45。, ∠ACB=90。

∴∠1=45。····························8分

∴∠EBF=2∠A=90。

∴菱形BECF是正方形·················9分

（1）根據中垂線的性質：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC，BF=FC，又因為CF=BE，BE=EC=BF=FC，根據四邊相等的四邊形是菱形，所以四邊形BECF是菱形；

（2）由菱形的性質知，對角線平分一組對角，即當∠ABC=45°時，∠EBF=90°，有菱形為正方形，根據直角三角形中兩個角銳角互余得，∠A=45度；